Переменная плотность сферических слоев
Пока мы рассматривали только один из механизмов проеции пространства внимания в физическое - пропорциональное увеличение. Объемный “кадр” малого размера просто увеличивался в q раз. Величина q выбирается так, что проекция внутреннего кокона должна совместиться по размерам с внешним. Вблизи границы происходит согласование или “сшивка” двух проекций, поэтому никакого зазора между ними обнаружить не удасться.
Хотя этот механизм обеспечивает львиную долю всего процесса воспроизведения внешнего мира, его недостаточно для объяснения таких тонких эффектов, как космологическое красное смещение.
Чтобы приступить к этой задаче, отметим, что в отличие от обычных кристаллов, у кокона шаг между двумерными поверхностями переменный, он убывает от центра к краю. Об этом свидетельствуют непосредственные наблюдения видящих (Главы 9 и 10). Как увидим, это увеличивает “емкость” кокона, позволяет ему в своем небольшом объеме воспроизводить более протяженный ареал внешнего мира.
Проиллюстрируем идею проекции содержимого кокона вовне на примере простой математической модели. Покажем, что благодаря неравномерности распределения поверхностей в коконе, он, в принципе, может отобразить в себе все внешнее пространство. Попутно введем некоторые полезные понятия.
Вначале рассмотрим набор сфер в физическом пространстве. Пронумеруем эти сферы, начиная от центра. Пусть их радиусы rnувеличиваются с равным шагом D , поэтому при возрастании номера n они могут стать сколь угодно большими (см. рисунок I.1).
Рис.I.1 Кокон и пространство как совокупность сфер.Параллельно с этим представим себе ограниченный кокон, в котором строится пространство внимания, также в виде бесконечного набора сферических поверхностей, как показано на том же рисунке. Радиус каждой такой сферы обозначим как r n, где n - ее номер. Так как размер кокона ограничен, то все r n должны быть меньше его внешнего радиуса R. Сферы с одинаковыми номерами в обоих пространствах считаются отображениями друг друга.
Можно указать множество вариантов взаимных соответствий между rn и r n, благодаря которым внутренность ограниченного шара отображается в бесконечное физическое пространство. Один из простейших, например, такой:
rn = Rr n /(R - r n ), (1)
и обратное ему отображение бесконечного пространства в шар:
r n = R rn /(R + rn ), (2)
где n принимает все положительные целые значения 1, 2, 3,... Кокон на рисунке I.1 строился именно по этой формуле, при значении R=5.
Пользуясь этими формулами всегда можно установить, на каком физическом расстоянии r от нас окажется частица, образ которой воспроизводится в коконе в слое номер n. Из соотношения (1) видно, что когда r приближается к R, то есть, к краю кокона, образ этой сферы удаляется на бесконечность.
Важное свойство этой модели заключается в том, что вблизи центра кокона в пространстве внимания слои идут с тем же шагом D , что и в физическом пространстве, и только при приближении к краю кокона расстояние между сферами формально уменьшается до нуля.
Рис.I.2 Вычисление частоты следования сфер в коконе.
На рисунке I.2 в виде непрерывного графика
r = f(r ); (3)
показана та же связь между r и r , что и в формулах (1) и (2). Функция
f(r ) задает закон отображения шаровидного пространства внимания в физическое пространство.
Обозначим через dr n зазор между сферой с номером n и следующей за ней. Учтем, что в физическом пространстве зазор между сферами остается постоянным и равным D . Как известно, тангенс угла наклона касательной к графику функции равен значению производной от функции f(r ), взятой в точке r n, поэтому
dr n = D / f ’(r ), (4)
В центре кокона r =0, поэтому там
dr 0 = D /f ’(0) = D , (5)
так как f ’(0) = 1 (рассматриваются только такие модели, у которых это свойство выполняется). В дальнейшем будет важно отношение
dr 0 / dr n = f ’(r ), (6)
оно указывает, во сколько раз возросла частота следования сфер в окрестности номераn. Как видим, это отношение не зависит от начального зазора D . Поэтому важен не номер сферы, а только ее радиус r .
Как показано в Главе 19, воспроизведение картины мира происходит в нескольких обширных слоях ядра, вложенных друг в друга. Ни у одного из слоев нет необходимости отображать всю Вселенную. Каждый из них ответственнен за картину мира только до определенного расстояния. Поэтому зазор между сферами в ноль нигде реально не обращается.